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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 44

Dentro de um tanque na forma de uma cone está fluindo água a um razão de 8   m 3 / m i n . O cone tem 6   m de profundidade e 3   m de diâmetro no topo. Se houver um vazamento na base e se o nível da água estiver subindo a uma razão de 1   c m / m i n , quando a profundidade for de 4,8 m, como estará o escoando o vazamento

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Aqui estamos lidando com um cone com as seguintes dimensões, o raio vale 1,5 m, a altura é 6 m, a agua flui a uma taxa de 8   m 3 / m i n   e a agua vaza fazendo a altura diminuir 1 cm/min . O que queremos é, taxa de variação do vazamento quando a água estiver com 4,8 m de profundidade.

Anotando teremos:

R = 1,5     (Raio do tanque)

  H = 6   (Altura do tanque)

d v 1 d t = 8   (Velocidade da vazão)

d h d t = 1   (Taxa de variação da altura)

d v 2 d t | h = 4,8 (Taxa de variação da vazão quando h (altura da agua) for igual a 4,8)

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

r (raio da superfície da água) é uma variável assim como h (altura da água), que vão depender do tempo, pois o volume da água diminui com o passar do tempo.

Passo 4

Uma relação muito interessante para se usar aqui é a do volume do cone, veja como todas nossas variáveis aparecem nela, aqui teremos que trabalhar um conceito, V é a função que representa o volume desse tanque, mas o volume sede tanque vai depender de outros dois fatores, a quantidade de agua que entra e a quantidade que sai, ou seja o volume ( V ) vai ser expresso como uma subtração entre a vazão ( v 1 ) e o escoamento ( v 2 )

V = ( v 1 - v 2 ) = π ⋅ r 2 ⋅ h 3

Passo 5

Agora é hora de relacionar as variáveis, para que possamos derivar, para isso nós podemos simplificar a figura e pensar nela apenas vista de frente.

Lembrando dos tempos de escolinha podemos perceber que estes dois triângulos são semelhantes, pois o menor e resultado do corte do primeiro por uma reta paralela a um dos lados, com isso podemos montar a relação.

r h = 1,5 6 = 1 4 ⇒ 4 r = h

Nesse caso é interessante colocar a r em função de h , pois estamos interessados na variação da altura, além disso o valor de h já foi informado.

r = h 4

Passo 6

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

( v 1 - v 2 ) = π r 2 ⋅ h 3 = π h 4 2 ⋅ h 3 = π h 3 48 ⇒ ( v 1 - v 2 ) = π h 3 48

Derivando implicitamente em relação a t

d d t v 1 - v 2 = d d t π h 3 48 ⇒ d v 1 d t - d v 2 d t = 3 π h 2 ⋅ d h d t 3 ⋅ 16 ⇒ d v 1 d t - d v 2 d t = π h 2 16 ⋅ d h d t

Substituindo os valores:

Aqui temos que ter cuidado com a variação da altura que está dada em cm/min, temos que converter para m/min,

h = 1 100   m / m i n

⇒ d v 1 d t - d v 2 d t = π h 2 16 ⋅ d h d t ⇒ 8 - d v 2 d t = π 24 5 2 16 ⋅ 1 100 ⇒ 8 - d v 2 d t = π 576 400 ⋅ 1 100

⇒ d v 2 d t = 8 - π 144 10000 = 80000 10000 - π 144 10000 = 800 - 144 π 10000

Como as unidades estavam em metros e minutos a resposta será dada em metros e minutos

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d h d t = 800 - 144 π 10000   m / m i n

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