39. O volume de um balão está decrescendo a uma taxa proporcional à sua área superficial. Mostre que o raio do balão diminui a uma taxa constante.
Passo 1
Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:
- Leia cuidadosamente o problema.
- Se possível, faça um diagrama.
- Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
- Escreva uma equação que relacione as variáveis.
- Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
- Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.
, isto é, o taxa de variação do volume é proporcional a da área superficial do balão.
Com base nisso, encontraremos .
Passo 2
O volume de um balão esférico é dado por
E a área superficial:
Passo 3
Voltando para afirmação da qustão:
Como já temos A e V, podemos calcular a derivada de cada um: