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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 2d

d) int c o t g^2 (x) d x = - c o t g (x) - x + c

Passo 1

int c o t g^2 (x) d x = - c o t g (x) - x + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Lembrete: Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - c o t g (x) - x + c = - (cos (x))/(s e n (x)) - x + c

Não esquece: ((u)/(v))^' = (u^' * v - u * v^')/(v^2)

Derivando:

I^' = - (( - s e n (x) * s e n (x) - cos (x) * cos (x) ))/(s e n^2 (x)) - 1 = (( s e n (x) * s e n (x) + cos (x) * cos (x) ))/(s e n^2 (x)) - 1

Logo,

I^' = (se n^2 (x) + cos^2 (x))/(s e n^2 (x)) - 1

Agora pra acabar:

I^' = (se n^2 (x) + cos^2 (x) - s e n^2 ( x ))/(s e n^2 (x)) = (cos^2 (x))/(s e n^2 ( x ))

Passo 3

Portanto, temos:

I^' = (cos^2 (x))/(s e n^2 ( x )) = c o t g^2 (x)

Como I^' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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