b) int c o s e c (x) d x = - ln |c o s e c (x) + c o t g (x)| + c

Passo 1

int c o s e c (x) d x = - ln |c o s e c (x) + c o t g (x)| + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Lembrete: Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - ln |c o s e c (x) + c o t g (x)| + c

Derivando:

I^' = - (1)/(c o s e c (x) + c o t g (x)) * (c o s e c (x) + c o t g (x))^' + 0

Logo,

I^' = - (1)/(c o s e c (x) + c o t g (x)) * (- c o s s e c (x) * c o t g (x) - c o t g^2 ( x ))

Colocando - c o t g ( x ) em evidência:

I^' = (c o t g ( x ))/(c o s e c (x) + c o t g (x)) * (c o s s e c (x) + c o t g ( x ))

Logo,

I^' = c o t g ( x )

Passo 3

Portanto, temos:

I^' = c o t g ( x )

Como I^' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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