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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1d

d) int t g^3 (3 x) d x

Passo 1

O problema nos forneceu essa integral,

I = int t g^3 (3 x) d x

A gente não consegue resolvê-la direto porque temos uma tangente ao cubo! A estratégia é então usar uma identidade trigonométrica para deixar essa integral com uma cara mais tranquila de se resolver.

Antes de começar a resolver, vamos lembrar duas coisinhas. A primeira é a nossa identidade trigonométrica:

1 + t g^2 (x) = sec^2 (x)

A segunda é uma derivada,

(t g x)^' = sec^2 x

Vamos lá!

Passo 2

Agora temos que fazer aparecer o sec^2 (3 x) e daí fazer uma substituição simples para resolver a integral!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g^3 (3 x) d x = int t g^2 (3 x) * t g (3 x) d x

Usando nossa identidade trigonométrica, temos:

1 + t g^2 (3 x) = sec^2 (3 x)

Então vamos trocar nosso t g^2 (3 x) por sec^2 (3 x) - 1 !!

I = int (sec^2 (3 x) - 1) * t g (3 x) d x = int t g (3 x) * sec^2 (3 x) d x - int t g (3 x) d x

Agora vamos fazer a nossa substituição simples!

Passo 3

Para resolver a integral,

int t g (3 x) * sec^2 (3 x) d x

Vamos chamar,

u = t g (3 x)

d u = 3 sec^2 (3 x) d x -> (d u)/(3) = sec^2 3 x d x

Substituindo na integral,

int u (d u)/(3) = (1)/(3) ((u^2)/(2)) = (u^2)/(6)

Voltando para variável x , ficamos com

int t g (3 x) * sec^2 (3 x) d x = (t g^3 (3 x))/(6)

Passo 4

Agora vamos para segunda integral,

int t g (3 x) d x

Fazendo a mesma substituição,

u = t g (3 x)

d u = 3 sec^2 (3 x) d x -> (d u)/(3 sec^2 3 x) = d x

Ficamos com,

int u . (d u)/(3 sec^2 3 x)

Opaaa, temos ainda x na integral. Mas lembra dessa identidade

1 + t g^2 (3 x) = sec^2 (3 x)

Então,

int u . (d u)/(3 (1 + t g^2 (3 x)))

E que fizemos, u = t g (3 x) . Então,

(1)/(3) * int (u)/(1 + u^2) d u

Chamando 1 + u^2 = t :

2 * u d u = d t -> u d u = (d t)/(2)

Logo,

(1)/(3) * int (u)/(1 + u^2) d u = (1)/(3) * int (1)/((1 + u^2)) u d u = (1)/(3) * int (1)/(t) (d t)/(2)

Essa é pra acabar:

(1)/(6) * l n |t| = (1)/(6) * l n |1 + u^2|

Voltando, para x , int t g (3 x) d x = (1)/(6) * l n |1 + t g^2 (3 x)|

Passo 5

Juntando as integrais e adicionando a nossa constante de integração:

I = int t g^3 (3 x) d x = int t g (3 x) * sec^2 (3 x) d x - int t g (3 x) d x

I = (t g^3 (3 x))/(6) - (1)/(6) * l n |1 + t g^2 (3 x)| + C

Aplicando novamente a nossa identidade trigonométrica, podemos transformar o argumento do logaritmo em secante:

I = (t g^2 ( 3 x ))/(6) - (1)/(6) * l n |sec^2 ( 3 x )| + C

Pra deixar com a cara do gabarito é só fazer assim:

Usa a regra do peteleco lá no l n |sec^2 ( 3 x )|

I = (sec^2 (3 x) - 1)/(6) - (1)/(6) * 2 * l n |sec (3 x)| + c = (sec^2 (3 x))/(6) - (1)/(6) - (1)/(3) * l n |(1)/(cos (3 x))| + c

Colocando o - (1)/(6) na constante e arrumando o l n |(1)/(cos (3 x))| :

I = (sec^2 (3 x))/(6) + (1)/(3) * l n |cos (3 x)| + c

Resposta

(sec^2 (3 x))/(6) + (1)/(3) * l n |cos (3 x)| + c

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