Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 20
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo bem?
A questão pede a integral
onde é dada pela função vetorial .
E a função é:
Então pessoal, o que precisamos fazer aqui é resolver essa integral:
Só vamos precisar derivar nosso vetor e substituir nossas funções paramétricas na função do integrando, daí é só resolvermos nossa integral normalmente.
Bora lá!
Passo 2
Aqui vale ressaltar que o intervalo de integração foi tirado do próprio enunciado, no qual determina que , tudo bem? Mas quem seria ? Comparando as componentes do nosso vetor , temos que:
Então cada componente traz as equações parametrizadas de cada variável:
Sendo assim, será:
Ok, e quem seria ? É a derivada de , que é:
Passo 3
Agora que determinamos e , vamos realizar aquele produto escalar que aparece dentro do integrando, saca só:
Multiplicando cada componente e somando os resultados:
Substituindo na integral, teremos:
Integrando cada termo da nossa soma dentro da integral.
Aplicando os limites de integração:
Prontinho! Chegamos no resultado que queríamos!
E esse é o resultado da nossa integral de linha 😊!