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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 10

7-10.

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

10. f x ,   y ,   z = y 2 e x y z ,   P 0 ,   1 ,   - 1 ,   u = 3 13 , 4 13 , 12 13

Passo 1

Oie, vamos de resolução de mais uma questão comigo?

Veja que temos algumas coisas para fazer com a função:

f x ,   y ,   z = y 2 e x y z

Primeiro iremos encontrar o gradiente de f , isso a gente faz dessa forma:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Isso é, calculando as derivadas parciais de cada variável.

Depois iremos calcular o valor do gradiente no ponto:

P 0 ,   1 ,   - 1

Iremos fazer isso substituindo os valores das coordenadas na equação que encontrarmos para o gradiente.

Por ultimo iremos encontrar a taxa de variação de f em P na direção do vetor:

u = 3 13 , 4 13 , 12 13

Fazendo isso calculando a derivada direcional:

D u f = ∇ f ⋅ u

Isso é, o produto escalar entre o gradiente nesse ponto e o vetor unitário u .

Passo 2

a) Antes de resolvermos tudo, vamos reescrever esse vetor u nas coordenadas i ,   j e k que conhecemos, tudo bem? Convertendo, teremos:

u = 3 13 , 4 13 , 12 13 = 3 13 i + 4 13 j + 12 13 k

De acordo com a seção 14.6 do Stewart, o gradiente de f é calculado da seguinte forma:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:

f x ,   y ,   z = y 2 e x y z

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , aqui a gente aplica a regra da cadeia por conta da composição de funções:

∂ f ∂ x = y 2 ⋅ e x y z ⋅ y z = y 3 z e x y z

Aqui a gente precisa aplicar a regra do produto para derivações em conjunto com a regra da cadeia:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Temos então a derivad parcial:

∂ f ∂ y = 2 y ⋅ e x y z + y 2 ⋅ e x y z ⋅ x z

Aqui aplicamos a regra da cadeia:

∂ f ∂ z = y 2 ⋅ e x y z ⋅ x y = y 3 x e x y z

Substituindo as derivadas parciais no gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z i + 2 y ⋅ e x y z + y 2 ⋅ e x y z ⋅ x z j + y 3 x e x y z k

Passo 3

b) Poxa, e como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:

P ( 0 ,   1 ,   - 1 )

∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z i + 2 y ⋅ e x y z + y 2 ⋅ e x y z ⋅ x z j + y 3 x e x y z k

Substituindo o ponto:

∇ f 0 ,   1 ,   - 1 = 1 3 ⋅ - 1 ⋅ e 0 i + 2 ⋅ 1 ⋅ e 0 + 1 2 ⋅ e 0 ⋅ 0 j + 1 3 ⋅ 0 ⋅ e 0 k

Depois de realizarmos todos os calulos algébricos:

∇ f 0 ,   1 ,   - 1 = - i + 2 j + 0 k

Passo 4

c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor u qualquer, devemos fazer:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é:

u = 3 13 i + 4 13 j + 12 13 k

Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:

D u f 0 ,   1 ,   - 1 = - i + 2 j + 0 k ⋅ 3 13 i + 4 13 j + 12 13 k

Realizando esse produto vetorial:

D u f 0 ,   1 ,   - 1 = - 3 13 + 8 13 + 0

D u f 0 ,   1 ,   - 1 = 5 13

Resposta

a) ∇ f x ,   y ,   z = y 3 z e x y z i + 2 y . e x y z + y 2 . e x y z . x z j + y 3 x e x y z k

b) ∇ f 0 ,   1 ,   - 1 = - i + 2 j + 0 k

c) D u f 0 ,   1 ,   - 1 = 5 13

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