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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 15

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z

C é o segmento de linha de ( 1,0 , 0 ) até ( 4,1 , 2 ) .

Passo 1

E aí, pessoal. Tudo legal?

Então, nessa questão precisamos calcular o valor da integral de linha

∫ C z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z

Onde temos informações sobre a região C , que é segmentado por uma linha que vai de ( 1 , 0 , 0 ) até ( 4 , 1 , 2 ) .

Para resolver essa questão, iremos encontrar a equação paramétrica do segmento de reta (já que para resolver integrais de linha precisamos usar t como parâmetro), achar os limites de integração e organizar tudo para o cálculo. Simbora?

Passo 2

Primeiro, vamos representar esses pontos como um vetor:

Vamos chamar de

P = 1 ,   0 ,   0

Q = 4 , 1 , 2

Assim,

P Q → = 4 , 1,2 - 1 , 0,0 = ( 3 ,   1 ,   2 )

Agora precisamos encontrar a equação paramétrica dessa reta, dada pela fórmula

r : x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Assim, escolhemos um dos pontos e fazemos

r : x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   0 + t ( 3 ,   1 ,   2 )

r : ( 1 + 3 t ,   t , 2 t )

Ou seja, temos

x = 1 + 3 t ,     y = t ,     z = 2 t ,     0 ≤ t ≤ 1

Agora, precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 3 → d x = 3 d t

d y d t = 1 → d y = d t

d z d t = 2 → d z = 2 d t

Agora, substituindo o valor das expressões, temos:

∫ 0 1 2 t 2 3   d t + 1 + 3 t 2 d t + t 2 2   d t

Expandindo o produto notável, reagrupando os termos e colocando d t em evidência, temos:

∫ 0 1 23 t 2 + 6 t + 1 d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

23 3 t 3 + 3 t 2 + t 0 1

Substituindo os limites de integração, chegaremos a

23 3 1 3 + 3 1 2 + 1 - 0

23 3 + 3 + 1 = 35 3

Resposta

∫ C z 2   d x + x 2 d y + y 2 d z = 35 3

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