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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 20

Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) .

F → x , y ,   z = - y z i ^ + x z j ^ + x y k ^  

r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C F → ⋅ d r →

Vamos escrever essa integral de um jeitinho mais fácil :

∫ b a F r t ∙ r , t   d t

Então precisamos saber de duas coisas muito importantes para iniciarmos essa integral .

A primeira é calcular a derivada função vetorial r → ( t ) .

E depois achar quem é F r t .

O intervalo ele nos dá, lembra?

0 ≤ t ≤ 2

Showzaço , então descobrindo essas duas informações somos capazes de resolver a integral.

Vamos?

Passo 2

Queremos saber qual a deriva de r → ( t ) . Já sabemos que a função é:

r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^

Então r → ' t :

r → ' t   d t = 1 i ^ + 2 t j ^ + 3 t 2 k ^   d t

Passo 3

Agora queremos encontrar quem é F r t :

Nesse caso, a curva é dada por r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ .

Logo:

x = t

y = t 2

z = t 3

Vamos substituir esses valores na função:

F → x , y ,   z = - y z i ^ + x z j ^ + x y k ^  

F → x , y ,   z = - t 2 . t 3 i ^ + t . t 3 j ^ + t .   t 2 k ^  

F → r t : = t 5 i ^ + t 4 j ^ + t 3 k ^

F → ⋅ d r → = t 5 i ^ + t 4 j ^ + t 3 k ^ ⋅ 1 i ^ + 2 t j ^ + 3 t 2 k ^   d t

= t 5 + 2 t 5 + 3 t 5   d t

F → ⋅ d r → = 6 t 5   d t

Passo 4

Ufa , último passo . Agora vamos substituir os valores que encontramos na integral:

∫ b a F r t ∙ r , t   d t

I = ∫ 0 2 t 5 i ^ + t 4 j ^ + t 3 k ^ ⋅ 1 i ^ + 2 t j ^ + 3 t 2 k ^   d t

I = ∫ 0 2 t 5 + 2 t 5 + 3 t 5   d t

I = ∫ 0 2 6 t 5   d t

Fazendo a integral:

I = t 6 0 2 = 2 6

Portanto,

I = 64

Resposta

I = 64

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