Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 20

Determine a derivada direcional de f x ,   y ,   z = x y ² z ³ em P ( 2 ,   1 ,   1 ) na direção de Q ( 0 ,   - 3 ,   5 ) .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Para determinarmos a derivada direcional de uma função f em um ponto específico e em uma direção específica, precisamos utilizar a seguinte expressão:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Mas como determinamos o gradiente? Determinamos da seguinte forma:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Então o que temos que descobrir são essas derivadas, pelo menos de primeiro momento! Já u é o vetor unitário do vetor da direção da nossa derivada direcional, nesse caso é o vetor unitário de:

P Q

Passo 2

Derivando, teremos:

f x ,   y ,   z = x y ² z ³

Calculando a derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = y 2 z 3

Calculando a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = 2 x y z 3

Calculando a derivada parcial em relação a z :

∂ f ∂ z = 3 x y 2 z 2

Passo 3

Tudo bem, agora que determinamos as derivadas, temos que saber o valor dessas derivadas no ponto específico que nos foi dado, que é P ( 2 ,   1 ,   1 ) .

Substituindo as derivadas no gradiente e depois aplicando o ponto:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Temos então que o nosso gradiente é:

∇ f x ,   y ,   z = y 2 z 3 i + 2 x y z 3 j + 3 x y 2 z 2 k

Aplicando o ponto nesse gradiente:

∇ f 2 ,   1 ,   1 = i + 4 j + 6 k

Agora só falta determinarmos quem é o vetor u , não é mesmo?

Assim como o enunciado nos indica, o vetor u é um vetor normalizado na direção P Q → , que é dado da seguinte forma:

P Q → = Q → - P →

P Q → = 0 i - 3 j + 5 k - 2 i + j + k

P Q → = - 2 i - 4 j + 4 k

Agora devemos encontrar o vetor unitário:

u = P Q → P Q → = - 2 i - 4 j + 4 k - 2 2 + - 4 2 + 4 2

Veja que fizemos isso dividindo pelo modulo de P Q → :

u = 1 6 - 2 i - 4 j + 4 k

Passo 4

Agora que já determinamos tudo, basta utilizarmos a expressão do passo 1, se liga:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Colocando tudo que encontramos:

D u f 2 ,   1 ,   1 = i + 4 j + 6 k ⋅ 1 6 - 2 i - 4 j + 4 k

Realizando o produto escalar:

D u f 2 ,   1 ,   1 = - 1 3 - 16 6 + 4

Temos que a derivada direcional é então:

D u f 2 ,   1 ,   1 = 1

Resposta

D u f 2 ,   1 ,   1 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x , y = x y . Determine a reta tangente ao gráfico de f , no ponto ( 1 , 2 ,f 1 , 2 ) , que froma com o plano x y ângulo máximo.
Seja f x , y = x + 2 y + 1 . Determine a reta contida no gráfico de f , passando pelo ponto ( 1,1 , 4 ) e que forma com o plano x y ângulo máximo.
Admita que o gráfico de z = x y represente uma superfície própria para a pratica de esqui. Adimita, ainda, que um esquiador deslize pela superfície sempre na direção de maior declive. Se ele parte do
Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de f x , y = 4 x 2 + y 2 . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória forma com o plano x y ângulo máximo. Determine uma parametrização
Seja A = { x , y ∈ I R 2 /5 -x 2 - 4 y 2 ≥ 0 } . Suponha que o gráfico de z =5 -x 2 - 4 y 2 . x , y ∈ A , represente a superfície de um monte. (Adote o km como unidade de media.) Um alpinista que se e