Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x * y² * z³ em P(2, 1, 1) na direção de Q(0, -3, 5) .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Para determinarmos a derivada direcional de uma função f em um ponto específico e em uma direção específica, precisamos utilizar a seguinte expressão:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Mas como determinamos o gradiente? Determinamos da seguinte forma:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Então o que temos que descobrir são essas derivadas, pelo menos de primeiro momento! Já u é o vetor unitário do vetor da direção da nossa derivada direcional, nesse caso é o vetor unitário de:

P Q

Passo 2

Derivando, teremos:

f x ,   y ,   z = x y ² z ³

Calculando a derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = y 2 z 3

Calculando a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = 2 x y z 3

Calculando a derivada parcial em relação a z :

∂ f ∂ z = 3 x y 2 z 2

Passo 3

Tudo bem, agora que determinamos as derivadas, temos que saber o valor dessas derivadas no ponto específico que nos foi dado, que é P ( 2 ,   1 ,   1 ) .

Substituindo as derivadas no gradiente e depois aplicando o ponto:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Temos então que o nosso gradiente é:

∇ f x ,   y ,   z = y 2 z 3 i + 2 x y z 3 j + 3 x y 2 z 2 k

Aplicando o ponto nesse gradiente:

∇ f 2 ,   1 ,   1 = i + 4 j + 6 k

Agora só falta determinarmos quem é o vetor u , não é mesmo?

Assim como o enunciado nos indica, o vetor u é um vetor normalizado na direção P Q → , que é dado da seguinte forma:

P Q → = Q → - P →

P Q → = 0 i - 3 j + 5 k - 2 i + j + k

P Q → = - 2 i - 4 j + 4 k

Agora devemos encontrar o vetor unitário:

u = P Q → P Q → = - 2 i - 4 j + 4 k - 2 2 + - 4 2 + 4 2

Veja que fizemos isso dividindo pelo modulo de P Q → :

u = 1 6 - 2 i - 4 j + 4 k

Passo 4

Agora que já determinamos tudo, basta utilizarmos a expressão do passo 1, se liga:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Colocando tudo que encontramos:

D u f 2 ,   1 ,   1 = i + 4 j + 6 k ⋅ 1 6 - 2 i - 4 j + 4 k

Realizando o produto escalar:

D u f 2 ,   1 ,   1 = - 1 3 - 16 6 + 4

Temos que a derivada direcional é então:

D u f 2 ,   1 ,   1 = 1

Resposta

D u f 2 ,   1 ,   1 = 1

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