Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 28
Determine o valor exato de onde e é o segmento de reta entre a .
Passo 1
Fala, meus amigos! Tudo certo?
Nossa questão pede o valor exato da integral de linha:
Onde:
E:
é o segmento de reta entre a
Bom, para resolvermos nossa integral, precisamos lembrar que:
Ou seja, vamos precisar parametrizar nosso segmento de reta em equações paramétricas de . Para um segmento de reta no espaço usamos a parametrização:
Assim, vamos achar:
Daí nós vamos conseguir encontrar os valores de:
Que é nossa função em função das equações paramétricas das nossas variáveis e
Que é o vetor cujas componentes são as derivadas das equações paramétricas. Daí conseguimos calcular nossa integral, onde os limites de integração serão a variação dos valores de .
Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar parametrizando nosso segmento de reta. Fazendo a :
Então multiplicando , cada componente fica:
Ou
Então:
Quando parametrizamos segmento de reta no espaço, temos indo de 0 até 1.
E o valor de será a derivada de cada equação paramétrica, então:
Reescrevendo nossa função:
Agora parametrizada, temos:
Passo 3
Agora vamos aplicar a integral de linha fazendo:
Dessa forma nós teremos:
Fazendo o produto escalar, multiplicamos coordenada com coordenada e somamos:
Bem extensa essa integral, né? E bem complexa também. Se você olhar essa questão no livro, verá que ela tem um pequeno símbolo de SCA ao lado, o que já nos indicou que íamos mesmo precisar de um software de computação algébrica para resolver. Então vamos contar com a ajuda de algum software ou calculadora que faça esse trabalho para nós, aqui vou usar o WolframAlpha:
Então, temos que: