19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

22.

Primeiramente devemos descobrir quando vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos por . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

Se observarmos o gráfico com cuidado, notaremos que a sequência não aparenta se aproximar de nenhum valor. Então não, a sequência não aparenta ter um limite! Po, mas como faço para saber que isso é verdade? Se aplicarmos o limite nessa sequência, teremos:

Como a expressão é uma soma, podemos separar os limites, utilizando a propriedade da soma dos limites:

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Então, o limite de é

Mas quanto ao segundo limite, qual é seu resultado? Tem um teorema dessa seção (teorema 9 da seção 11.1) que diz o seguinte:

A sequência converge se e diverge para todos os outros valores de .

Assim, como , então essa sequência diverge! Se fosse menor do que 1, essa sequência convergeria, mas não é o caso. Essa é a prova de que não há um limite para a sequência. Show de bola?!