Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 9
Considere a sequência de termo geral
a) Prove que é crescente.
b) Prove que para todo natural ]
c) Prove que existe e que é menor que . Compare com o Exercício 3.)
(Sugestão para (b): Verifique que .)
Passo 1
a) Se para todo natural maior que teremos uma soma com parcelas que será maior que a soma das primeiras parcelas.
Assim, quaisquer que sejam os naturais e , . Logo, é crescente.
Passo 2
b) Temos que
Por consequência:
E assim por diante...
Se a soma de todas as segundas partes das inequações é uma progressão geométrica de primeiro termo e razão , temos:
Assim, somando todas as inequações:
Logo, provamos que para todo natural ] temos .
Passo 3
c) Se temos uma função crescente e limitada superiormente por , para todo natural.
Então, o conjunto é não-vazio e limitado superiormente, e portanto admite um supremo, que vamos chamar de . Dado, , existe tal que
Daí, para todo em temos:
Então:
Logo:
Como é o supremo no intervalo temos que .
Como , e :
Logo, provamos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)