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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1h

Calcule.

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k

Passo 1

Temos que o somatório nos dá:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) ((1)/(3))^0 + ((1)/(3))^1 + ((1)/(3))^2 + ... + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^n

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) 1 + (1)/(3) + ((1)/(3))^2 + ... + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^n

Se temos:

(b^k - a^k)/(b - a) = b^(k - 1) * a^0 + b^(k - 2) * a^1 + b^(k - 3) * a^2 + ... + b^2 * a^(k - 3) + b^1 * a^(k - 2) + b^0 * a^(k - 1)

Se, tomarmos b = (1)/(3) e a = 1 , temos:

(((1)/(3))^k - 1^k)/(((1)/(3)) - 1) =

((1)/(3))^(k - 1) * 1^0 + ((1)/(3))^(k - 2) * 1^1 + ((1)/(3))^(k - 3) * 1^2 + ... + ((1)/(3))^2 * 1^(k - 3) + ((1)/(3))^1 * 1^(k - 2) + b ((1)/(3))^0 * 1^(k - 1)

Passo 2

Então:

(((1)/(3))^k - 1^k)/(((1)/(3)) - 1) = ((1)/(3))^(k - 1) + ((1)/(3))^(k - 2) + ((1)/(3))^(k - 3) + ... + ((1)/(3))^2 + (1)/(3) + 1

Se chamarmos: n = k - 1 :

(((1)/(3))^(n + 1) - 1^(n + 1))/(((1)/(3)) - 1) = ((1)/(3))^n + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^(n - 2) + ... + ((1)/(3))^2 + (1)/(3) + 1

(((1)/(3))^(n + 1) - 1)/(((1)/(3)) - 1) = sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k

(((1)/(3))^(n + 1) - 1)/(- (2)/(3)) = sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k

sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = - (3)/(2) (((1)/(3))^(n + 1) - 1) = (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1)

sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = = (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1)

Passo 3

Então:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1) = (3)/(2) - (3)/(2) * 0 = (3)/(2)

Logo:

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = (3)/(2)

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = (3)/(2)

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