Calcule. underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k Passo 1Temos que o somatório nos dá: underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) ((1)/(3))^0 + ((1)/(3))^1 + ((1)/(3))^2 + ... + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^n underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) 1 + (1)/(3) + ((1)/(3))^2 + ... + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^n Se temos: (b^k - a^k)/(b - a) = b^(k - 1) * a^0 + b^(k - 2) * a^1 + b^(k - 3) * a^2 + ... + b^2 * a^(k - 3) + b^1 * a^(k - 2) + b^0 * a^(k - 1) Se, tomarmos b = (1)/(3) e a = 1 , temos: (((1)/(3))^k - 1^k)/(((1)/(3)) - 1) = ((1)/(3))^(k - 1) * 1^0 + ((1)/(3))^(k - 2) * 1^1 + ((1)/(3))^(k - 3) * 1^2 + ... + ((1)/(3))^2 * 1^(k - 3) + ((1)/(3))^1 * 1^(k - 2) + b ((1)/(3))^0 * 1^(k - 1) Passo 2Então: (((1)/(3))^k - 1^k)/(((1)/(3)) - 1) = ((1)/(3))^(k - 1) + ((1)/(3))^(k - 2) + ((1)/(3))^(k - 3) + ... + ((1)/(3))^2 + (1)/(3) + 1 Se chamarmos: n = k - 1 : (((1)/(3))^(n + 1) - 1^(n + 1))/(((1)/(3)) - 1) = ((1)/(3))^n + ((1)/(3))^(n - 1) + ((1)/(3))^(n - 2) + ... + ((1)/(3))^2 + (1)/(3) + 1 (((1)/(3))^(n + 1) - 1)/(((1)/(3)) - 1) = sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k (((1)/(3))^(n + 1) - 1)/(- (2)/(3)) = sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = - (3)/(2) (((1)/(3))^(n + 1) - 1) = (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = = (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1) Passo 3Então: underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = underset(n -> + oo)(lim) (3)/(2) - (3)/(2) ((1)/(3))^(n + 1) = (3)/(2) - (3)/(2) * 0 = (3)/(2) Logo: underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = (3)/(2) Resposta underset(n -> + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k = (3)/(2) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.10. a_1 = 6, a_{n+1} = a_n / n13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a_n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.14. { 1, - 1 / 3, 1 / 9, - 1 / 27, 1 / 81, … }3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.6. a n = cos n π 23-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.3. a_n = 2n / (n^2 + 1)13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.16. { 5 ,8 ,11 ,14 ,17 … }Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Sequências e SériesLista de exercícios de Limite de uma SequênciaVer exercício 4.3 - 1fVer exercício 4.3 - 1e