Calcule.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k

Passo 1

Temos que o somatório nos dá:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k = lim n → + ∞ ⁡ 1 3 0 + 1 3 1 + 1 3 2 + … + 1 3 n - 1 + 1 3 n

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k = lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 + 1 3 2 + … + 1 3 n - 1 + 1 3 n

Se temos:

b k - a k b - a = b k - 1 ∙ a 0 + b k - 2 ∙ a 1 + b k - 3 ∙ a 2 + … + b 2 ∙ a k - 3 + b 1 ∙ a k - 2 + b 0 ∙ a k - 1

Se, tomarmos b = 1 3 e a = 1 , temos:

1 3 k - 1 k 1 3 - 1 =

1 3 k - 1 ∙ 1 0 + 1 3 k - 2 ∙ 1 1 + 1 3 k - 3 ∙ 1 2 + … + 1 3 2 ∙ 1 k - 3 + 1 3 1 ∙ 1 k - 2 + b 1 3 0 ∙ 1 k - 1

Passo 2

Então:

1 3 k - 1 k 1 3 - 1 = 1 3 k - 1 + 1 3 k - 2 + 1 3 k - 3 + … + 1 3 2 + 1 3 + 1

Se chamarmos: n = k - 1 :

1 3 n + 1 - 1 n + 1 1 3 - 1 = 1 3 n + 1 3 n - 1 + 1 3 n - 2 + … + 1 3 2 + 1 3 + 1

1 3 n + 1 - 1 1 3 - 1 = ∑ k = 0 n 1 3 k

1 3 n + 1 - 1 - 2 3 = ∑ k = 0 n 1 3 k

∑ k = 0 n 1 3 k = - 3 2 1 3 n + 1 - 1 = 3 2 - 3 2 1 3 n + 1

∑ k = 0 n 1 3 k = = 3 2 - 3 2 1 3 n + 1

Passo 3

Então:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k = lim n → + ∞ ⁡ 3 2 - 3 2 1 3 n + 1 = 3 2 - 3 2 ∙ 0 = 3 2

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k = 3 2

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n 1 3 k = 3 2

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