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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 1m

1.Calcule.

int sin^5 x cos x d x

Passo 1

É uma questão de trocarmos a nossa variável, para conseguirmos fazer esse problema, então vamos lá!!!!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin x de u :

sin x = u

E derivaremos dos dois lados:

cos x d x = d u

Passo 2

Elevaremos a quinta potência essa expressão ( sin x = u ), pois olha lá na expressão da questão, não temos sin x , mas s i n^5 x . Fazendo essa operação bem marota, temos:

sin x = u

sin^5 x = u^5

Agora que temos todos os “integrantes” da integral em função de u , podemos substituir a variável x e facilitar nosso problema:

int sin^5 x cos x d x = int u^5 d u

Passo 3

Lembrando que a integral de função polinomial é: int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c

Para a integral da questão n = 5

int u^5 d u = (1)/(6) u^6 + c

Voltamos a variável inicial, substituindo u = sin x e teremos a nossa resposta:

int sin^5 x cos x d x = (1)/(6) sin^6 x + c

Resposta

int sin^5 x cos x d x = (1)/(6) sin^6 x + c

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