Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 3 ln ⁡ v + 1 2 v + 1   d v

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 3 ln ⁡ v + 1 2 v + 1   d v

u = v + 1   d u =   d v  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 1 3 ln ⁡ v + 1 2 v + 1   d v =   ∫ 1 3   ⁡ ln 2 ⁡ u u   d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

k = ln ⁡ u

d k = 1 u   d u

∫ 1 3   ⁡ ln 2 ⁡ u u   d u =   ∫ 1 3   ⁡ k 2   d k

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ 1 3   ⁡ k 2   d k = k 3 3 3 1

Passo 5

Substituindo u e k pelas funções que atribuímos, temos:

k 3 3 3 1 = 1 3 ln 3 ⁡ u 3 1 =   1 3 ln 3 ⁡ ( v + 1 ) 3 1

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 3 ln   3 ⁡ v + 1 3 1 = 1 3 ( ln 3 ⁡ 4 - ln 3 ⁡ 2 ) =  

= 1 3 ( ln 3 ⁡ 2 2 - ln 3 ⁡ 2 ) = 1 3 ( 2 ln 3 ⁡ 2 - ln 3 ⁡ 2 ) =   ⁡ ln 3 ⁡ 2 3  

Resposta

ln 3 ⁡ 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados