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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 102

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^3 ((ln (v + 1))^2)/(v + 1) d v

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_1^3 ((ln (v + 1))^2)/(v + 1) d v

u = v + 1 d u = d v

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_1^3 ((ln (v + 1))^2)/(v + 1) d v = int_1^3 (ln^2 u)/(u) d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

k = ln u

d k = (1)/(u) d u

int_1^3 (ln^2 u)/(u) d u = int_1^3 k^2 d k

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int_1^3 k^2 d k = ((k^3)/(3)) (3)/(1)

Passo 5

Substituindo u e k pelas funções que atribuímos, temos:

((k^3)/(3)) (3)/(1) = (1)/(3) (ln^3 u) (3)/(1) = (1)/(3) (ln^3 ( v + 1 )) (3)/(1)

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(3) (ln ^3 (v + 1)) (3)/(1) = (1)/(3) ( ln^3 4 - ln^3 2 ) =

= (1)/(3) ( ln^3 2^2 - ln^3 2 ) = (1)/(3) ( 2 ln^3 2 - ln^3 2 ) = (ln^3 2)/(3)

Resposta

(ln^3 2)/(3)

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