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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 105

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- (3)/(4))^((3)/(4)) (6)/(sqrt(9 - 4 x^2)) d x

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_(- (3)/(4))^((3)/(4)) (6)/(sqrt(9 - 4 x^2)) d x

x = (3)/(2) s e n ( u ) d x = (3)/(2) cos (u) d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

(3)/(4) = (3)/(2) s e n (u) => (1)/(2) = s e n (u) => u = (pi)/(6)

- (3)/(4) = (3)/(2) s e n (u) => - (1)/(2) = s e n (u) => u = - (pi)/(6)

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

int_(- (3)/(4))^((3)/(4)) (6)/(sqrt(9 - 4 x^2)) d x = 6 int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) (1)/(sqrt(9 - 4 ((3)/(2) s e n (u))^2)^()) (3)/(2) cos (u) d u =

6 xx (3)/(2) xx (1)/(3) int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) (1)/(sqrt(1 - s e n^2 ( u ))) cos (u) d u =

3 int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) (1)/(sqrt(cos^2 ( u ))) cos (u) d u = 3 int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) d u

Passo 3

Agora utilizaremos a regra de integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

3 int_(- (pi)/(6))^((pi)/(6)) d u = 3 ( u ) ((pi)/(6))/(- (pi)/(6))

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

3 (u) ((pi)/(6))/(- (pi)/(6)) = 3 ((pi)/(6) - (- (pi)/(6))) = 3 ((2 pi)/(6)) = 3 ((pi)/(3)) = pi

Resposta

pi

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