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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 5

Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dado.

Passo 1

Vamos lembrar da geometria espacial, a seguinte relação para um cilindro circular reto de raio r e altura h , inscrito numa esfera de raio R :

R 2 = r 2 + h 2 2

r 2 = R 2 - h 2 4

Desse modo, a função y do volume do cilindro ficará assim:

y r , h = π r 2 h

y h = π R 2 - h 2 4 h

y h = π R 2 h - π 4 h 3

Passo 2

Como queremos que o volume seja máximo, temos que obter o máximo global da função y h . Então, primeiro derivamos e igualamos a 0 , lembrando que R é uma constante dada:

y ' h = π R 2 - 3 π 4 h 2

π R 2 - 3 π 4 h 2 = 0

h = 2 R 3

Note que lim h → 0 + ⁡ y h = 0 e lim h → + ∞ ⁡ y h = - ∞ , onde h → 0 + e h → + ∞ seriam os “extremos” do domínio da função.

Logo, o volume é realmente máximo para h = 2 R 3 .

Resposta

h = 2 R 3

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