Dê o domínio e esboce o gráfico.

o) y = 1 + 1 / x^2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f x = p x q x . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f x = p x q x tem seu domínio dado por:

D o m f = x ∈ R q x ≠ 0 }

Ou seja, para nossa função q x = x 2 , temos que o domínio vai ser onde:

q x = x 2 ≠ 0   ∴ x ≠ 0

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m f = x ∈ R x ≠ 0 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de baixo, ou seja, negativa, passa a ser positiva, pois temos um x 2 embaixo. Outra coisa importante da gente observar é que a cara dela vai ser muito parecida com o gráfico do exercício 15 i , no entando deslocado uma unidade para cima. Vai ser como se aquele gráfico lá tivesse criado perninhas e dado todo ele um passo pra cima do eixo x .

Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = 1 + 1 / x 2 vai se aproximando de 1 , por exemplo:

  • x = 10 ; y = 1 + 1 ( 10 ) 2 = 1 100 = 1,01
  • x = 100 ; y = 1 + 1 ( 100 ) 2 = 1 + 1 10000 = 1,0001

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de 0 , y vai aumentando, saca só:

  • x = 0,5 ; y = 1 + 1 ( 0,5 ) 2 = 1 + 1 0,5 2 = 5
  • x = 0,1 ; y = 1 + 1 0,1 2 = 101

E assim por diante. E esse comportamento se repete (sempre fornecendo valores positivos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: 1 ,   2 ; - 1,2 ; ( - 2 ;   1,25 ) e ( 2 ; 1,25 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m f = x ∈ R x ≠ 0 }

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