1.Calcule.

A) ∫   cos 5 ⁡ x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

∫ cos 5 ⁡ x d x = ∫ cos 4 ⁡ x cos ⁡ x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos s e n ⁡ x   de u :

s e n ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( s e n ⁡ x ) '   = ( u ) '

c o s x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Não, pois falta o e cos 4 ⁡ x , não é difícil conseguirmos, vamos nessa!

s e n ⁡ x = u

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 ⁡ x = 1 - u 2

cos 4 ⁡ x = ( 1 - u 2 ) 2 = 1 - 2 u 2 + u 4

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

c o s x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫   cos 5 ⁡ x d x = ∫ ( 1 - 2 u 2 + u 4 ) d u

Passo 3

‘’Quebraremos’’ a integral acima em duas integrais, lembrando que podemos fazer isso com a soma, mas não com o produto:

∫ ( 1 - 2 u 2 + u 4 ) d u = ∫ d u - 2 ∫ u 2 d u + ∫ u 4 d u

Essas integrais são imediatas ( ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c ):

∫ ( 1 - 2 u 2 + u 4 ) d u = ∫ d u - 2 ∫ u 2 d u + ∫ u 4 d u = u - 2 3 u 3 + u 5 5 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sin ⁡ x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

∫ cos 5 ⁡ x d x = s e n ⁡ x - 2 3 s e n 3 ⁡ x + s e n 5 ⁡ x 5 + c

Resposta

∫ cos 5 ⁡ x d x = s e n ⁡ x - 2 3 s e n 3 ⁡ x + s e n 5 ⁡ x 5 + c

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