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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 82

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ - 5 0 x 4 - x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ x 4 - x d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = 4 - x → x = 4 - u

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 1   d x = - d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 4 - x d x = ∫ - 4 - u u d u = ∫ - 4 + u u 1 2 d u = ∫ - 4 u 1 2 + u ⋅ u 1 2 d u =

= ∫ - 4 u 1 2 + u 1 + 1 2 d u = ∫ - 4 u 1 2 + u 2 + 1 2 d u = ∫ - 4 u 1 2 + u 3 2 d u = ∫ - 4 u 1 2 d u + ∫ u 3 2 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ - 4 u 1 2 d u + ∫ u 3 2 d u = - 4 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + u 3 2 + 1 3 2 + 1 + C = - 4 ⋅ u 1 + 2 2 1 + 2 2 + u 3 + 2 2 3 + 2 2 + C =

= - 4 ⋅ u 3 2 3 2 + u 5 2 5 2 + C = - 4 ⋅ 2 ⋅ u 3 2 3 + 2 ⋅ u 5 2 5 + C = - 8 u 3 2 3 + 2 u 5 2 5 + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 4 - x d x = - 8 u 3 2 3 + 2 u 5 2 5 + C = - 8 4 - x 3 2 3 + 2 4 - x 5 2 5 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ - 5 0 x 4 - x d x = - 8 4 - x 3 2 3 + 2 4 - x 5 2 5 - 5 0 =

= - 8 4 - 0 3 2 3 + 2 4 - 0 5 2 5 - - 8 4 - - 5 3 2 3 + 2 4 - - 5 5 2 5 =

= - 8 ⋅ 4 3 2 3 + 2 ⋅ 4 5 2 5 - - 8 4 + 5 3 2 3 + 2 4 + 5 5 2 5 = - 64 3 + 64 5 - - 7 2 + 486 5 = - 5 06 15

Resposta

∫ - 5 0 x 4 - x d x = - 5 06 15

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