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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 87

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ 0 1 d x e x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x e x = ∫ d x e x 1 2 = ∫ d x e x 2 = ∫ e - x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = - x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 1 2 d x → d x = - 2 d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e - x 2 d x = ∫ - 2 e u d u = - 2 ∫ e u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Aplicando:

- 2 ∫ e u d u = - 2 e u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x e x = ∫ e - x 2 d x = - 2 e u + C = - 2 e - x 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 1 d x e x = - 2 e - x 2 0 1 = - 2 e - 1 2 - - 2 e - 0 2 = - 2 e - 1 2 - - 2 e - 0 2 = - 2 e - - 2 ⋅ 1 =

= - 2 e + 2

Resposta

∫ 0 1 d x e x = - 2 e + 2

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