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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 88

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ 0 2 3 1 4 + 9 x 2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 1 4 + 9 x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = 3 x 2 → x = 2 u 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 2 d x → d x = 2 d u 3

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 4 + 9 x 2 d x = ∫ 1 4 + 9 2 u 3 2 ⋅ 2 3 d u = 2 3 ∫ 1 4 + 9 ⋅ 4 u 2 9 d u = 2 3 ∫ 1 4 + 4 u 2 d u =

= 2 3 ∫ 1 4 1 + u 2 d u = 2 12 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 6 ∫ 1 1 + u 2 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 1 + x 2 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

1 6 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 6 arctg ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 4 + 9 x 2 d x = 1 6 arctg ⁡ u + C = 1 6 arctg ⁡ 3 x 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 2 3 1 4 + 9 x 2 d x = 1 6 arctg ⁡ 3 x 2 0 2 3 = 1 6 arctg ⁡ 3 ⋅ 2 3 2 - 1 6 arctg ⁡ 3 ⋅ 0 2 =

= 1 6 ⋅ π 3 - 1 6 ⋅ 0 = π 18

Resposta

∫ 0 2 3 1 4 + 9 x 2 d x = π 18

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