1-Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e de mínimo globais das funções:

a)   z = 4 - x 2 -   y 2

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   - 2 x

∂ f ∂ y =   - 2 y

Assim,

-   2 x = 0

-   2 y = 0

Logo, só temos um ponto crítico que é no x = 0 e y =0. ( 0,0)

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente determinar os pontos máximos e mínimos, bom, nós já vimos que essa função tem um ponto crítico, agora nos resta saber se ele é máximo ou mínimo.

Passo 3

Para determinarmos os pontos máximos e mínimos temos que usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   0,0 = - 2 0           0           - 2    

H 0 ,   0 =   4

Afinal o que isso quer dizer ????

Bom, como H   0,0 > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 < 0 , então ( 0,0 ) é um ponto de máximo local de f.

Passo 4

Mas pera aêêêê.... A gente descobriu o ponto crítico e que ele é um máximo local, mas será que esse máximo local é também o máximo global ?! A resposta é sim, pois o que nós temos aqui é um parabolóide circular com a concavidade para baixo, portanto o seu máximo local é também máximo global.

Ainda vale lembrar que todo máximo local é candidato a máximo global, como nesse caso só temos um máximo local, ele também é global.

Resposta

(0,0) é um ponto de máximo global.

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