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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 27

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

27-   z = 4 x 2 +   3 x y + y 2 +   12 x + 2 y + 1

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   8 x + 3 y + 12

∂ f ∂ y =   3 x + 2 y + 2

Assim,

8 x + 3 y + 12 = 0

3 x + 2 y + 2 = 0

Bom, vamos nos livrar desse y multiplicando a primeira equação por -2 e a segunda por 3:

- 16   x - 6 y - 24 = 0

9 x + 6 y + 6 = 0

Somando as duas equações, temos:

- 7 x - 18 = 0

x =   - 18 7

Substituindo o valor de x na segunda equação, temos que y é igual a :

3 × - 18 7 +   2 y + 2 = 0

2 y = 54 7 -   2

y = 20 7

Logo, só temos um ponto crítico: ( - 18 7 , 20 7 )

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   - 18 7 , 20 7 = 8 3           3         2    

H - 18 7 , 20 7 =   7

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H   - 18 7 , 20 7 > 0 , e ∂ f ∂ 2 x - 18 7 , 20 7 > 0   , então - 18 7 , 20 7 é um ponto de mínimo local.

Resposta

- 18 7 , 20 7   , ponto de mínimo.

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