Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

12. z = y^3 - 3*x^2*y + 3*y

Passo 1

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = - 6 x y , 3 y 2 - 3 x 2 + 3

Passo 2

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

- 6 x y = 0   ( 1 )

3 y 2 - 3 x 2 + 3 = 0   ( 2 )

Resolvendo (1), obtemos

x = 0   o u   y = 0

Quando x=0, substituindo o valor em (2),

3 y 2 = - 3

y 2 = - 1

Vemos que a equação acima não possui solução para y pertencente ao conjunto dos reais.

No entanto, para y=0, vemos que

- 3 x 2 + 3 = 0

x 2 = 1

Daí, segue que as possíveis soluções são

- 1,0 , ( 1,0 )

Como as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo ( x , y ) ∈ D f , não há nenhum outro ponto crítico além dos que já encontramos.

Resposta

Os pontos críticos são (-1,0),(1,0).

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