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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 21

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

21-   z = y + x   s e n y

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   s e n y

∂ f ∂ y =   1 +   x   c o s y  

Assim,

s e n y = 0

1 + x   c o s y = 0

Gente, nós sabemos que a única maneira do s e n   y ser igual a zero é y sendo 2 k π   o u   2 k π + π . No entanto, na segunda equação temos que:

x   c o s y =   - 1

Isso quer dizer que se o x for igual a 1 o c o s y tem que ser igual a -1, o quer dizer que o y tem que ser 2 k π + π . Já se o x for igual a -1 o c o s y tem que ser igual a 1, ou seja o y tem que ser 2 k π

Logo, temos dois pontos críticos: - 1 ,   2 k π   e   1 ,   2 k π + π ,   k   ∈ Z  

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   x , y = 0 cos ⁡ y         c o s y           - x   s e n y    

H x , y =   - cos 2 ⁡ y

H - 1,2 k π =   - 1  

H   1,2 k π + π = - 1

Afinal o que isso quer dizer ????

Bom, como H   - 1,2 k π < 0 e H   1,2 k π + π < 0 , os dois pontos são pontos de sela.

Resposta

- 1 ,   2 k π   e   1 ,   2 k π + π ,   k   ∈ Z , pontos de sela.

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1-Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e de mínimo globais das funções:a)z = s e nx + cos ⁡ y