Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.1 - Ex. 22
22. ( Continuação do Exercício 21.)
a. Inscreva um polígono regular de lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área de um dos triângulos congruentes formados pelos raios que cruzam os vértices do polígono.
b. Calcule o limite da área do polígono inscrito quando .
c. Repita os cálculos dos itens (a) e (b) para um círculo de raio r.
Passo 1
a.
Podemos observar com a ajuda da resolução da questão 21 algumas coisas:
- O polígono regular de lados pode ser dividido em triângulos isósceles iguais.
- O ângulo é a metade do menor ângulo desses triângulos e vale
- O maior lado do triângulo é igual ao raio, , que nesse caso vale 1.
- A altura do triângulo é igual a
como o raio é igual a 1:
- A base do triângulo, , é igual a
como o raio é igual a 1:
- A área do triângulo é
OBS: a fórmula do arco duplo é
Então podemos escrever a área do triângulo como sendo:
Passo 2
A área do polígono é igual a
Agora aplicando o limite quando tende ao infinito vamos obter:
Podemos reescrever esse limite como sendo:
Podemos tirar o para fora do limite e substituir por , então vamos obter o seguinte limite:
Esse é um dos limites fundamentais que vale 1, então a área do polígono regular de lados com tendendo ao infinito é
Passo 3
c.
Podemos aproveitar o que está escrito no Passo 1.
Nesse caso o raio não é 1 então devemos usar
e
A área do triângulo fica
também pelo arco duplo, podemos escrever:
A área do polígono vai ser
Perceba que ta igual a antes a única diferença é que agora tem o , se reescrevervos essa área e aplicar o limite vamos ter que
Podemos tirar o para fora do limite e vamos obter o mesmo limite calculado na letra (b) e que sabemos que vale , então:
Resposta
a.
b.
c.