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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 7

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 2 y - 1 2 y d y

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ y n d x = y n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Passo 2

Nossa integral vai ficar assim, se a gente separar:

∫ 2 y - 1 2 y d y = ∫ 2 y d y - ∫ d y 2 y

Botando as constantes pra fora:

∫ 2 y - 1 2 y d y = 2 ∫ y d y - 1 2 ∫ d y y

Pra primeira integral:

2 ∫ y d y = 2 ∫ y 1 2 d y = 2 y 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 1

2 ∫ y d y = 2 2 y 3 2 3 + C 1

Pra segunda:

- 1 2 ∫ d y y = - 1 2 ∫ y - 1 2 d y = - 1 2 y - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C 2

- 1 2 ∫ d y y = - 2 2 y 1 2 + C 2

Juntando, vamos ter duas constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ 2 y - 1 2 y d y = 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d y 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C = d d y 2 2 y 3 2 3 + d d y - 2 2 y 1 2 + d d y ( C )

Derivando,

d d y 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C = 3 2 2 2 3 y 1 2 + 1 2 - 2 2 y - 1 2 + 0

Arrumando,

d d y 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C = 2 y - 1 2 y

d d y 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C = 2 y - 1 2 y

Resposta

∫ 2 y - 1 2 y d y = 2 2 y 3 2 3 - 2 2 y 1 2 + C

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