Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 28
Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo bem?
Bom, aqui a questão quer que a gente aproxime a soma da série com precisão de até 4 casas decimais:
Antes precisamos mostrar a convergência dessa série, já que estamos partindo do pressuposto de que ela tem uma soma, através do Teste da Série Alternada: Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo (ou seja, é decrescente)
Então a série é convergente.
Já para encontramos o erro de séries alternadas e convergentes, sua expressão é:
Para uma precisão de 4 casas decimais vamos encontrar um termo que tenha esteja na quinta casa decimal.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar verificando a condição (i), que basicamente diz que deve ser decrescente.
Então pessoal, a sequência que devemos analisar para utilizar o teste da sequência alternada é:
Como: cresce muito e o 1 é constante, vemos que o resultado dessa divisão em ficará cada vez menor, ou seja, a série será decrescente.
Provando (ii):
A série alternada converge.
Passo 3
Escrevendo os termos da série. Então, ficamos com:
Escrevendo alguns valores:
Para :
Para :
Para :
Aqui nosso erro já está menor que 4 casas decimais.
Passo 4
Note que o próximo termo é sendo subtraído.
Sendo acrescentado esse não é alterado a quarta casa decimal de , portanto, pelo teorema da estimativa de séries alternadas, a soma das séries com quatro casas decimais, é de: