Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 2
Uma superfície que consiste do cilindro junto com seu fundo e tampa. Suponha que você saiba que é uma função contínua com
Estime o valor de usando a soma de Riemann, tomando como retalhos os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo numa boa?
A questão quer o valor de
Onde é formada pelo cilindro
e por círculos no fundo e no topo. Usando a soma de Riemann
Então, faremos o somatório de:
Para cada retalho, onde:
É a função no ponto central do retalho e
É a área do retalho, que o enunciado pede que sejam 4: fundo, tampa, cilindro divido em 4 partes.
Então, vamos começar achando os centros dos retalhos e calculando as áreas de cada um deles. Então, podemos aplicar cada termo na nossa soma, e teremos o valor da integral que o enunciado pede.
Passo 2
Vamos começar achando a área de cada retalho. Como o enunciado pede para dividirmos a lateral do cilindro em 4 partes, vamos calcular a área de uma dessas partes:
- ¼ Lateral do cilindro:
- Fundo e topo: o fundo e o topo de um cilindro são círculos. A área do círculo é:
- ¼ Lateral do cilindro: como temos 4 lados do cilindro, os 4 pontos vão ter a mesma altura em , mudando somente os valores de e . Então os 4 pontos serão:
- Fundo e topo: como o centro do fundo e do topo são centro de círculos e nossos círculos estão na origem, só vão mudar os valores da altura desses pontos. Como o próprio enunciado diz:
Onde é o raio e a altura. Calculando para nosso caso, nosso cilindro tem raio e altura 2, já que varia de -1 até 1. Então:
Substituindo nosso raio :
Passo 3
Agora podemos achar os pontos centrais de cada retalho.
Então:
como ponto do topo
como ponto do fundo
O valor da função nos pontos o próprio enunciado deu:
Então, é só multiplicarmos o valor da função no ponto com cada área, e somarmos tudo, que conseguimos achar o valor da nossa integral pela soma de Riemann. Vamos lá!
Passo 3
Com isso, podemos aproximar a integral pela soma de Riemann:
Substituindo os valores da função nos pontos: