Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 9
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Entre os diversos métodos possíveis para testar se uma série é convergente ou divergente, utilizaremos o método do teste da comparação, pois é esse método que foi apresentado em seu livro nessa seção.
E o que é o método do teste da comparação? 🤔
É um método que nos permite saber se uma série dada converge ou não, ao compará-la com uma outra série parecida que já sabemos a resposta.
Como saber em que situações eu devo utilizar esse método ?
Uma forma de reconhecer se um exercício deve ser resolvido com esse método. É tentar encontrar a série de comparação, parecida com a série do exercício. E tentar encontrar se essa série é convergente ou divergente. Se conseguir realizar essas duas etapas, então fique tranquilo para resolver com o método da comparação.
Passo 2
Precisamos escolher uma série parecida com a série dada do exercício, que será chamada de :
E que podemos investigar sua convergência. Uma estratégia muito boa para escolher a série de comparação, chamada de é identificar a as potências mais altas do numerador e do denominador. Nesse caso:
Que sabemos ser uma série divergente (série com ).
Passo 3
Fazendo a comparação temos:
Ao fazer tendendo ao infinito, fica fácil observar que para qualquer valor de a partir de 3.
Vou demonstrar aqui para ficar mais fácil de visualizar.
Ou seja, para , essa inequação está errada. Porém, a partir de essa inequação
estará correta para qualquer valor de .
Tranquilo demais né 😎
Vamos relembrar então o que diz o teste da comparação:
“Se é divergente e se:
para todo a partir de um qualquer (No nosso caso, ). Então também diverge.”Eu quero que fique bastante claro, que não precisa ser maior que para todo e qualquer Mas precisa ser maior a partir de um número finito qualquer tendendo ao infinito.Ou seja: