Determine se a série converge ou diverge.

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k

Passo 1

Entre os diversos métodos possíveis para testar se uma série é convergente ou divergente, utilizaremos o método do teste da comparação, pois é esse método que foi apresentado em seu livro nessa seção.

E o que é o método do teste da comparação? 🤔

É um método que nos permite saber se uma série dada converge ou não, ao compará-la com uma outra série parecida que já sabemos a resposta.

Como saber em que situações eu devo utilizar esse método ?

Uma forma de reconhecer se um exercício deve ser resolvido com esse método. É tentar encontrar a série de comparação, parecida com a série do exercício. E tentar encontrar se essa série é convergente ou divergente. Se conseguir realizar essas duas etapas, então fique tranquilo para resolver com o método da comparação.

Passo 2

Precisamos escolher uma série parecida com a série dada do exercício, que será chamada de a n :

∑ a n =   ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k

E que podemos investigar sua convergência. Uma estratégia muito boa para escolher a série de comparação, chamada de ∑ b n é identificar a as potências mais altas do numerador e do denominador. Nesse caso:

∑ b n = ∑ k = 1 ∞ 1 k

Que sabemos ser uma série divergente (série p com p = 1 ).

Passo 3

Fazendo a comparação temos:

ln ⁡ k k > 1 k

Ao fazer k tendendo ao infinito, fica fácil observar que a n > b n para qualquer valor de k a partir de 3.

Vou demonstrar aqui para ficar mais fácil de visualizar.

ln ⁡ 1 1 > 1 1

0 1 > 1

Ou seja, para k = 1 , essa inequação está errada. Porém, a partir de k ≥ 3 essa inequação

estará correta para qualquer valor de k .

ln ⁡ 3 3 > 1 3

0.366 > 0.333

Tranquilo demais né 😎

Vamos relembrar então o que diz o teste da comparação:

“Se b n é divergente e se:

a n > b n

para todo n a partir de um N qualquer (No nosso caso, N   =   3 ). Então a n também diverge.”Eu quero que fique bastante claro, que a n não precisa ser maior que b n para todo e qualquer k . Mas precisa ser maior a partir de um número finito qualquer tendendo ao infinito.Ou seja:

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k   é   d i v e r g e n t e

Resposta

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k   é   d i v e r g e n t e

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