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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 23

23. A densidade linear em qualquer ponto de uma barra com 3 m varia diretamente com a distância de um ponto a um ponto externo a ela, sobre a sua reta suporte e a 1 m de um extremo onde a densidade é 2 kg/m. Se a massa total da barra for 15 kg, ache o centro de massa da barra.

Passo 1

O primeiro passo para encontrar o centro de massa é achar a função da densidade dessa barra. Para isso vamos analisar a figura abaixo:

Pela figura percebemos que podemos escrever qualquer ponto, tendo como referencial o ponto externo, como ( 4 - x ) . Com isso estamos perto de achar uma função para densidade.

ρ x = k ( 4 - x )

Passo 2

Agora que conhecemos a cara da densidade, para que a função esteja completa precisamos achar o valor da constante k, para isso o exercício nos da a seguinte informação:

  1. A densidade no extremo é 2 kg/m, ou seja, ρ 3 = 2 .

Com essa informação podemos escrever da seguinte maneira:

2 = k ( 4 - 3 )

k = 2

Agora aplicamos k a função obtida no passo anterior:

ρ x = 2 4 - x

ρ x = 8 - 2 x

agora passamos ao próximo passo.

Passo 3

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 3 x ( 8 - 2 x ) d x 15

x - = ∫ 0 3 ( 8 x - 2 x 2 ) d x 15

x - = 4 x 2 - 2 3 x 3 | 0 3 15

x - = 18 15 m

Resposta

Centro de massa: 18 15 m

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