Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 29c
29. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala meus queridos.
Nessa questão queremos provar que
Que é uma derivada dada na Tabela 6.
Para isso, vamos chamar
De forma, que teremos:
E então usamos a derivação implícita para encontrarmos a derivada de .
Passo 2
(c)
Sendo , então
Nós queremos a derivada de então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:
A derivada da cossecante hiperbólica é menos acossecante hiperbólica vezes a cotangente hiperbólica (isso é tabelado tá).
Isolando a derivada de :
Podemos usar a seguinte relação trigonométrica para deixarmos tudo em função apenas da cossecante.
Então:
Aqui podemos fazer algumas observações, quando o valor da cossecante é sempre positivo e o valor da cotangente também, então se
Então o sinal dessa raiz é positivo.
Portanto o produto que temos no denominador da nossa equação é positivo.
Já no caso de , a cossecante vai ser negativa e a cotangente também será negativa, então
Então o sinal dessa raiz é negativo.
E o produto de dois termos negativos terá como resultado um termo positivo.
Então para todo que a gente escolha aquele produto é sempre positivo, portanto podemos reescrever a expressão como sendo:
Como no inicio definimos que
e
então