29. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh^(-1)(x)

(b) tgh^(-1)(x)

(c) cossech^(-1)(x)

(d) sech^(-1)(x)

(e) cotgh^(-1)(x)

Passo 1

Fala meus queridos.

Nessa questão queremos provar que

d d x cos sec h - 1 ⁡ x = - 1 x ⋅ x 2 + 1

Que é uma derivada dada na Tabela 6.

Para isso, vamos chamar

y = cos sec h - 1 ⁡ x

De forma, que teremos:

x = cos sec h ⁡ y

E então usamos a derivação implícita para encontrarmos a derivada de y .

Passo 2

(c)

Sendo y = cossech - 1 ⁡ x , então

x = cossech ⁡ y

Nós queremos a derivada de y então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x cossech ⁡ y

A derivada da cossecante hiperbólica é menos acossecante hiperbólica vezes a cotangente hiperbólica (isso é tabelado tá).

1 = - cossech ⁡ y cotgh ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = - 1 cossech ⁡ y cotgh ⁡ y

Podemos usar a seguinte relação trigonométrica para deixarmos tudo em função apenas da cossecante.

cotgh 2 ⁡ y - 1 = cosech 2 ⁡ y

cotgh 2 ⁡ y = cosech 2 ⁡ y + 1

cotgh ⁡ y = ± cosech 2 ⁡ y + 1

Então:

d y d x = - 1 cossech ⁡ y ⋅ ± cosech 2 ⁡ y + 1

Aqui podemos fazer algumas observações, quando y > 0 o valor da cossecante é sempre positivo e o valor da cotangente também, então se

cotgh ⁡ y > 0  

± cosech 2 ⁡ y + 1 > 0

Então o sinal dessa raiz é positivo.

Portanto o produto que temos no denominador da nossa equação é positivo.

Já no caso de y < 0 , a cossecante vai ser negativa e a cotangente também será negativa, então

cotgh ⁡ y < 0  

± cosech 2 ⁡ y + 1 < 0

Então o sinal dessa raiz é negativo.

E o produto de dois termos negativos terá como resultado um termo positivo.

Então para todo y que a gente escolha aquele produto é sempre positivo, portanto podemos reescrever a expressão como sendo:

d y d x = - 1 cossech ⁡ y ⋅ cosech 2 ⁡ y + 1

Como no inicio definimos que

x = cossech ⁡ y

e

y = cossech - 1 ⁡ x

então

d d x cossech - 1 ⁡ x = - 1 x ⋅ x 2 + 1

Resposta

d d x cossech - 1 ⁡ x = - 1 x ⋅ x 2 + 1

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