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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 16

Encontre a derivada da função dada:

f (r) = cosec h^(- 1) (1)/(2) r^2

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(cosech^(- 1) r)^' = - (1)/(r sqrt(1 - r^2))

Vamos fazer

f (r) = g (h (r))

Com

g (r) = cosech^(- 1) x

h (r) = (1)/(2) r^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (r) = g^' (h (r)) h^' (r)

Temos

g^' (r) = - (1)/(r sqrt(1 - r^2))

Que é a derivada de cosec^(- 1)

Então

f^' (r) = - (1)/((h (r)) sqrt(1 - (h (r))^2)) h^' (r)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (r)

h (r) = (1)/(2) r^2 -> h^' (r) = r

Vamos ter

f^' (r) = - (1)/((1)/(2) r^2 sqrt(1 - ((1)/(2) r^2)^2)) r

f^' (r) = - (r)/((1)/(2) r^2 sqrt(1 - (r^4)/(4)))

f^' (r) = - (r)/((1)/(2) r^2 (sqrt(4 - r^4))/(sqrt(4)))

f^' (r) = - (r)/((1)/(4) r^2 sqrt(4 - r^4))

f^' (r) = - (4)/(r sqrt(4 - r^4))

Resposta

f^' (r) = - (4)/(r sqrt(4 - r^4))

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