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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 25

Encontre a derivada da função dada:

g (x) = tgh^(- 1) cos e^x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(tgh^(- 1) x)^' = (1)/(1 - x^2)

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

g (x) = h (f (w (x)))

Com

h (x) = tgh^(- 1) x

f (x) = cos x

w (x) = e^x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

g^' (x) = h^' (f (w (x))) (f (w (x)))^'

g^' (x) = h^' (f (w (x))) f^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 - x^2)

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

g^' (x) = (1)/(1 - (f (w (x)))^2) f^' (w (x)) w^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de f (x)

f (x) = cos x -> f^' (x) = - sen x

Vamos ter

g^' (x) = (1)/(1 - (cos (w (x)))^2) (- cos (w (x))) w^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = e^x -> w^' (x) = e tilde x

Vamos ficar com:

g^' (x) = (1)/(1 - (cos (e^x))^2) (- sen (e^x)) e^x

g^' (x) = (- e^x sen e^x)/(1 - cos^2 (e^x))

Lembrando que

1 - cos^2 e^x = sen^2 e^x

Vamos ter

g^' (x) = (- e^x sen e^x)/(sen^2 (e^x)) = - (e^x)/(sen e^x)

Para finalizar, usamos:

(1)/(sen e^x) = co sec e^x

g^' (x) = - e^x cosec e^x

Resposta

g^' (x) = - e^x cosec e^x

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Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada: 27 )F x = sen - 1 ⁡ ( tgh ⁡ x ² ) ²
Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada: 28 )f x = ln ⁡ ( c o t g h3 x - c o s e c h3 x )
27- Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada. y = 1 - θ t g h - 1 θ
26- Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada. y = cosh - 1 ⁡ 2 x + 1
24- Nos Exercícios 13-24, determine a derivada de y em função da variável adequada y = 4 x 2 - 1 cos sech ⁡ ( ln ⁡ 2 x )