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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 12

Encontre a derivada da função dada:

G (x) = cosh^(- 1) (1)/(3) x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cosh^(- 1)

(cosh^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 - 1))

Vamos fazer

G (x) = f (h (x))

Com

f (x) = cosh^(- 1) x

h (x) = (1)/(3) x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

G^' (x) = f^' (h (x)) h^' (x)

Temos

f^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 - 1))

Que é a derivada de cosh^(- 1)

Então

G^' (x) = (1)/(sqrt((h (x))^2 - 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = (1)/(3) x -> h^' (x) = (1)/(3)

Vamos ter

G^' (x) = (1)/(sqrt(((1)/(3) x)^2 + 1)) . (1)/(3)

G^' (x) = ((1)/(3))/(sqrt((x^2)/(9) + 1)) = ((1)/(3))/(sqrt((x^2 + 9)/(9))) = ((1)/(3))/((sqrt(x^2 + 9))/(sqrt(9))) = ((1)/(3))/((sqrt(x^2 + 9))/(3))

G^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 + 9))

Resposta

G^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 + 9))

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Determine a derivada de y em função da variável adequada.
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