29. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh^(-1)(x)

(b) tgh^(-1)(x)

(c) cossech^(-1)(x)

(d) sech^(-1)(x)

(e) cotgh^(-1)(x)

Passo 1

Fala meus queridos.

Nessa questão queremos provar que

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 x 2 - 1

Que é uma derivada dada na Tabela 6.

Para isso, vamos chamar

y = cosh - 1 ⁡ x

De forma, que teremos:

x = cosh ⁡ y

E então usamos a derivação implícita para encontrarmos a derivada de y .

Passo 2

Sendo y = cosh - 1 ⁡ x , então

x = cosh ⁡ y

Nós queremos a derivada de y então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x cosh ⁡ y

A derivada do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico:

1 = senh ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = 1 senh ⁡ y

Podemos usar essa relação:

cosh 2 ⁡ y - senh 2 ⁡ y = 1

senh 2 ⁡ y = cosh 2 ⁡ y - 1

senh ⁡ y = cosh 2 ⁡ y - 1

Então:

d y d x = 1 cosh 2 ⁡ y - 1

Como no começo definimos que x = cosh ⁡ y

podemos reescrever a equaçõ como sendo:

d y d x = 1 x 2 - 1

Como y = cosh - 1 ⁡ x , nós descobrimos que:

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 x 2 - 1

Resposta

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 x 2 - 1

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