Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 27

Encontre a derivada da função dada:

G (x) = x senh^(- 1) x - sqrt(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos começar escrevendo a raiz como potência

sqrt(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^((1)/(2))

Nossa função vai ficar

G (x) = x senh^(- 1) x - (x^2 + 1)^((1)/(2))

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui.

Começando com:

F (x) = (x^2 + 1)^((1)/(2))

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = g (h (x))

Com

g (x) = x^((1)/(2))

h (x) = x^2 + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

Então

F^' (x) = (1)/(2) (h (x))^(- (1)/(2)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 + 1 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2)) 2 x

F^' (x) = (1)/(2 (x^2 + 1)^((1)/(2))) 2 x

F^' (x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 3

Vamos agora para a derivada de

x senh^(- 1) x

Aqui, vamos usar a regra do produto.

(x senh^(- 1) x)^' = (x)^' senh^(- 1) x + x (senh^(- 1) x)^'

A derivada de senh^(- 1) é

(senh^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Logo

(x senh^(- 1) x)^' = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

G^' (x) = (x senh^(- 1) x)^' - F^' (x)

G^' (x) = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1)) - (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Resposta

G^' (x) = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1)) - (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada de y em função da variável adequada.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.y = cosh^(- 1) sqrt(x)
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. f x = t g h( 1 + e 2 x )
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. g x = cosh ⁡ ( ln ⁡ x )
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. y = sech - 1 ⁡ e - x