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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 46

Avalie a integral.

int (1 + e^x)/(1 - e^x) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = e^x

Se quisermos o valor de x , teremos x = ln u e a derivada disso é d x = (d u)/(u) . Substituimos os valores:

int (1 + e^x)/(1 - e^x) d x = int (1 + u)/(1 - u) ( (d u)/(u) )

Agora simplificamos a equação:

- int (1 + u)/(u - 1) ((d u)/(u)) = - int ((2)/(u - 1) - (1)/(u)) d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

- int ((2)/(u - 1) - (1)/(u)) d u = ln |u| - 2 ln |u - 1| + C

Portanto, substituindo o valor de u :

int (1 + e^x)/(1 - e^x) d x = ln |e^x| - 2 ln |e^x - 1| + C = x - 2 ln |e^x - 1| + C

Prontinho!!

Resposta

int (1 + e^x)/(1 - e^x) d x = x - 2 ln |e^x - 1| + C

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