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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 24

23-26 Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

24. A lâmina delimitada pelo gráfico x = y 4 e a reta x = 1 ; δ = 15 .

Passo 1

Vamos começar a desenhando o gráfico da região que delimita essa lâmina!

Passo 2

Agora vamos calcular a área dessa região R , vamos lá:

á r e a   d e   R = ∫ 0 1 y 4 d y = 1 5 y 5 1 0 = 1 5 - 0 = 1 5

Para calcularmos a massa, precisamos multiplicar a área pele densidade:

M a s s a   d e   R = 1 5 × 15 = 3

Passo 3

Vamos calcular agora o centroide, utilizando essas fórmulas:

x - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b 1 2 ( w ( y ) ) 2 d y

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b y w ( y ) d y

Fazendo primeiro o x - , temos:

x - = 1 3 ∫ 0 1 1 2 y 8 d y = 1 3 × 1 2 y 9 9 1 0 = 1 6 1 9 9 - 0 9 = 1 6 × 1 9 = 1 54

Fazendo agora o y -

y - = 1 3 ∫ 0 1 y × y 4 d y = 1 3 ∫ 0 1 y 5 d y = 1 3 1 6 y 6 1 0 = 1 3 × 1 6 1 6 - 0 6 = 1 18

Botando em coordenadas, temos:

1 54 , 1 18

Resposta

3   ;   1 54 , 1 18

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Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = π , y = 0 e pelo gráfico de y = c o s ⁡ ( x ) .
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano limitado pelos gráficos de y = x 3 - x , y = s e n ( π x ) , com - 1 ≤ x ≤ 1 .
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e - x ≤ y ≤ x - x ² ².
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x 2 - 1 ≤ y ≤ x + 1 .
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3 - 2 x - x ² ², com - 1 ≤ x ≤ 2 .