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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 47

47- Água é vertida a 4 pés3 /min para o tanque mostrado a seguir. As seções transversais do tanque são semicírculos com 4 pés de diâmetro. Uma extremidade do tanque é móvel, mas

movendo-a para aumentar o volume, comprime-se uma mola. A constante da mola é k = 100 lb/pés. Se a extremidade do tanque se deslocar 5 pés contra a mola, a água escoará por um orifício de segurança na parte inferior a 5 pés3/min. A extremidade móvel atingirá o orifício antes que o tanque transborde?

Passo 1

Dicionário: vertido- Transbordado; que transbordou; cujo líquido foi derramado; que se verteu: sopa vertida sobre a mesa; o lixo foi vertido no rio.

Dados da questão:

V a z ã o   e n t r a d a = 4   p e s 3 / m i n

k = 100   l b / p e

Δ x = 5   p é

V a z ã o   s a í d a = 5   p é s 3 / m i n

A pergunta quer saber se a forca da agua moverá a extremidade o suficiente para a água descarregar essa água toda pelo orifício? Isso é Δ x vai ser igual ou maior que 5?

Passo 2

Para facilitar a compreensão da questão vamos analisar o momento em que a água consegue chegar no seu limite de altura, e com isso conseguiremos calcular seu trabalho (energia) com essa energia poderemos ser capazes de dizer o quanto a mola se movimentou. Com isso dito podemos fazer um desenho da sua seção transversal o que está representado abaixo:

Como círculo de raio 2 tem equação característica igual a:

x 2 + y 2 = 2 2

Logo podemos dizer que a seção transversal tem um comprimento x de:

x = 4 - y 2

Porém como temos um comprimento igual a dois raios logo nosso comprimento total será de:

2 x = 2 4 - y 2

E como nossa altura percorre um eixo negativo logo temos que considerar-lo como 0 - y o que nos dará - y .

Montando a integral da força teremos:

F = ∫ - 2 0 62.4 × - y × 2 4 - y 2   d y

Passo 3

Pra resolver essa integral vamos fazer a substituição:

u = 4 - y 2

d u = - 2 y   d y

Que nos dá os seguintes parâmetros:

Para y = - 2 :

u = 4 - - 2 2 = 0

Para y = 0 :

u = 4 - 0 2 = 4

Logo:

F = ∫ 0 4 62.4 × u   d u = 62.4 × 2 3 u 3 2 0 4 = 62.4 × 2 3 × 8 = 332.8   l b

Logo essa é a nossa força quando a água atinge o limite máximo.

Passo 4

Aplicando essa força que encontramos na força elástica nós teremos:

F e l = K × Δ x

332.8 [ l b ] = 100 l b p e × Δ x

Δ x = 3.328   p e

Como o orifício encontra-se a 5 pés da extremidade livre, logo a água não tem força suficiente para mover a mola logo ela transborda do tanque.

Resposta

Δ x = 3.328   p e

A água transborda do tanque.

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