Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 31
31.O topo de um tanque tem de comprimento e de largura. As extremidades são triângulos equiláteros verticais, com um vértice apontado para baixo. Qual a força total em uma extremidade, quando ele está cheio de um líquido que pesa
Passo 1
Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:
Em que é a função que limita a comporta a esquerda e é a função que limita a comporta à direita.
limita a comporta por baixo!
limita a comporta por cima!
é o peso por unidade de volume
é o nível do líquido.
O lado do triângulo equilátero é , então a sua altura é de
Passo 2
Vamos desenhar o “gráfico” da extremidade, com as informações do lado e da altura que calculamos anteriormente.
.
A extremidade está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos e, pois admitimos esse triangulo com origem na origem do plano cartesiano.
Em cima é delimitada pelos pontos e , pois o topo precisa medir e o triângulo tem altura de .
Então,
A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos e . A reta que passa por esses pontos é a e isolando o , temos :
À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos e A reta que passa por esses pontos é a só que precisamos de , então isolando o , temos: .
Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!
Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água, em azul. Ora, o nível de água é o mesmo da altura da tanque segundo o enunciado.
Passo 3
Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é .
Focando só na integral, temos: