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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.7 - Ex. 24

24 . Uma estimativa anual da população da Bélgica, P (em milhares), de 1992 a 2000 é mostrada na tabela a seguir.

Encontre a taxa média do crescimento.

( i ) de 1992 a 1996     ( i i ) de 1994 a 1996 ( i i i ) de 1996 a 1998.

Em cada caso, inclua as unidades.

( b ) Estime a taxa instantânea de crescimento de 1996 tomando a média de duas taxas médias de variação. Quais são as suas unidades?

( c ) Estime a taxa instantânea de crescimento em 1996 medindo a inclinação da tangente.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos de mais uma resolução.

Aqui a gente tem de encontrar algumas informações relacionadas as taxas dos dados da tabela. Veja que taxa de variação é a divisão do dado que queremos analisar em relação a outro dado, a velocidade por exemplo é a taxa de variação do espaço pelo tempo.

Para resolvermos essa atividade, a taxa de variação aqui é a seguinte:

∆ P ∆ x

Em que ∆ P é a variação de população em milhares de pessoas e ∆ x é a variação do tempo em anos.

Passo 2

  1. Fazendo a ( i ) taxa, que é de 1992 a 1996 :

    ∆ P ∆ x = P 1996 - P 1992 1996 - 1992

    Substituindo os valores desses pontos:

    ∆ P ∆ x = 10.152 - 10.036 4

    ∆ P ∆ x = 116 3 = 38,67 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

    Fazendo a ( i i ) taxa, que é de 1994 a 1996

    ∆ P ∆ x = P 1996 - P 1994 1996 - 1994

    Substituindo os valores desses pontos:

    ∆ P ∆ x = 10.152 - 10.109 2

    ∆ P ∆ x = 43 2 = 21,50 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

    Fazendo a ( i i i ) taxa, que é de 1996 a 1998

    ∆ P ∆ x = P 1998 - P 1996 1998 - 1996

    Substituindo os valores desses pontos:

    ∆ P ∆ x = 10.175 - 10.152 2

    ∆ P ∆ x = 23 2 = 11,50   m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

    Passo 3

  2. Faremos a média das duas últimas taxas que calculamos na letra a , as taxas ( i i ) e ( i i i ) pois são intervalos que contém o ano de 1996 e são taxas com intervalo de tempo com a menor distância entre eles.

    3. T a x a   i n s t â n t a n e a = 21,50 + 11,50   2 = 16,5 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

    Passo 4

  3. Para resolvermos essa letra iremos primeiro gerar o gráfico com os nossos dados, você poderá utilizar o seu software preferido para isso, o Excel é o mais aconselhado.

Vamos criar um triangulo utilizando a reta tangente ao ponto dado para criamos um triangulo retângulo e assim calcularmos a inclinação.

Estimando A como ( 1994 ,   10125 ) e B como ( 1998 ,   10182 ) , a inclinação em 1996 é a tangente do ângulo B ^ :

A C ¯ A B ¯ = 10182   -   10125 1998   -   1994   = 57 4   =   14.25   m i l   p o r   a n o .

Resposta

a )

( i ) taxa

38,67 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

( i i ) taxa 21,50 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

( i i i ) taxa

11,50   m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

( b )

Taxa instantânea pela média é igual a :

16,5 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

( c )

Taxa instantânea pela tangente é igual a :

30 m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

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