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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 24

Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado.

y = 1 s e n   x   +  cos ⁡ x , em 0,1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O exercício pede para acharmos a equação da reta tangente a curva dada:

y = 1 s e n   x   +  cos ⁡ x

No ponto 0,1 .

Para isso, precisamos derivar a função para achar o coeficiente angular m da reta tangente e assim usar a equação da reta:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde x 0 , y 0 são os pontos dados no enunciado.

Para derivar a função vamos usar a regra do quociente.

Sejam h e g duas funções deriváveis, então a derivada do quociente h / g é dada por:

d d x h x g x = g x d d x h x - h x d d x   g x g x 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para derivar a expressão, temos:

y ' = 1 ' ⋅ s e n   x + cos ⁡ x - 1 ⋅ s e n   x + cos ⁡ x ' s e n   x + cos ⁡ x 2 ∴

y ' = - cos ⁡ x - s e n   x s e n   x + cos ⁡ x 2

Substituindo x = 0 achamos m :

m = - 1 - 0 0 + 1 2 = - 1

Passo 3

Usando m = - 1 , x 0 = 0 e y 0 = 1 na equação da reta, temos:

y - y 0 = m   x - x 0 ∴

y - 1 = ( - 1 ) ⋅ ( x - 0 )   ∴

y = - x + 1

Resposta

y = - x + 1

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