19. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta é dado pela equação s = 4t^3 + 6t + 2 . Encontre a velocidade da partícula no instante t = a, t = 1, t = 2, e t = 3.

Passo 1

Olá, meu nobre e querido estudante. Vamos resolver mais uma atividade. Hoje, eu e você estaremos resolvendo uma atividade de física/cálculo juntos.

Aqui nos é dada a equação de deslocamento de uma partícula:

s = 4 t 3 + 6 t + 2

Em relação ao tempo, e a partir disso iremos encontrar a sua velocidade nos tempos pedidos.

Para isso, iremos utilizar uma equação que relaciona o espaço e a velocidade.

Usaremos a equação 3 do livro, mas pode ficar tranquilo, vou colocar logo em seguida:

v a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

v é a velocidade em um tempo t = a , f ( a ) é a função que rege o deslocamento no tempo t = a , no nosso caso a equação:

f t = s = 4 t 3 + 6 t + 2

A questão se resume a achar a velocidade no instante t = a e depois substituir a pelos valores do enunciado, então vamos lá!

Passo 2

Agora chegamos na parte do cálculo em si, organizaremos f ( a + h )   e f ( a ) :

f t = s = 4 t 3 + 6 t + 2

Substituindo:

f a + h = 4 a + h 3 + 6 a + h + 2

Realizando o produto notável:

f a + h = 4 a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 + 6 a + 6 h + 2

Agora realizando a distributiva:

f a + h = 4 a 3 + 12 a 2 h + 12 a h 2 + 4 h 3 + 6 a + 6 h + 2

Agora vamos para f a :

f ( a ) = 4 a 3 + 6 a + 2

Colocando tudo para dentro da expressão do limite, temos essa parada aqui:

v a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

v a = l i m h → 0 4 a 3 + 12 a 2 h + 12 a h 2 + 4 h 3 + 6 a + 6 h + 2 - ( 4 a 3 + 6 a + 2 ) h

Simplificando os termos semelhantes:

v a = lim h → 0 ⁡ 12 a 2 h + 12 a h 2 + 4 h 3 + 6 h h

Colocando o h em evidência:

v a = lim h → 0 ⁡ h ( 12 a 2 + 12 a h + 4 h 2 + 6 ) h

Cortando o h do numerador com o do denominador, temos a seguinte situação:

v a = l i m h → 0 12 a 2 + 12 a h + 4 h 2 + 6

v ( a ) = 12 a 2 + 6

Passo 3

Agora com o v ( a ) já calculado, apenas temos que substituir o a pelos valores do enunciado, mas lembre-se, mesmo sendo uma tarefa relativamente fácil, tenha organização.

t = a

v ( a ) = 12 a 2 + 6

Agora para t = 1 s :

v ( 1 ) = 12 ( 1 ) 2 + 6 = 18 m / s

Agora para t = 2 s :

v ( 1 ) = 12 ( 2 ) 2 + 6 = 54 m / s

Agora para t = 3 s :

v ( 1 ) = 12 ( 3 ) 2 + 6 = 114 m / s

É isso, um forte abraço e até a próxima.

Resposta

t = a

v ( a ) = 12 a 2 + 6

t = 1 s

v ( 1 ) = 12 ( 1 ) 2 + 6 = 18 m / s

t = 2 s

v ( 1 ) = 12 ( 2 ) 2 + 6 = 54 m / s

t = 3 s

v ( 1 ) = 12 ( 3 ) 2 + 6 = 114 m / s

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