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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 29

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = cos ⁡ 2 t ,   y = s e n   2 t ,     ( 0 ≤ t ≤ π 2 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   - 2 s e n   2 t  

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t

Aí a gente joga na fórmula:

= ∫ 0 π 2 - 2   s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2   d t

= ∫ 0 π 2 4   s e n 2 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t   d t

= ∫ 0 π 2 4 s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

= ∫ 0 π 2 4 1   d t

= 4 π 2 = 2 π

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

2 π

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13. y - 1 2 = x + 4 3d eP 0 - 3,2a t éP 1 ( 0,9 ) é .
8.y = ln ⁡ x ,3 ≤ x≤ 8
7. y = 1 2 e x + e - xd e0,1a( 1 , e x + e - 1 2 )
6. x = 1 3 y 3 + 1 4 y ,1 ≤ y≤ 3
12. y = 6 ( x 2 3 - 1 )d eP 0 1 , 0a t éP 1 ( 2 √ 2 , 6 ) é .