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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 29

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = cos ⁡ 2 t ,   y = s e n   2 t ,     ( 0 ≤ t ≤ π 2 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   - 2 s e n   2 t  

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t

Aí a gente joga na fórmula:

= ∫ 0 π 2 - 2   s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2   d t

= ∫ 0 π 2 4   s e n 2 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t   d t

= ∫ 0 π 2 4 s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

= ∫ 0 π 2 4 1   d t

= 4 π 2 = 2 π

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

2 π

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10. y = sqrt(x^3) , d e P_0 (0,0) a t e P_1 ( 4,8 )
17. x^2 - y^2 = 1 d e P_0 (3 , - 2 sqrt(2)) a t e P_1 (3,2 sqrt(2))
14. x^2 = y^3 d e P_0 (0 , 0) a t é P_1 ( 8 , 4 ) é .
11. y = 4 sqrt(x^3) + 2 d e P_0 (0,2) a t é P_1 ( 1,6 ) é .
13. (y - 1)^2 = (x + 4)^3 d e P_0 (- 3,2) a t é P_1 ( 0,9 ) é .