25. Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 23 girar em torno da reta .
Passo 1
Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.
Passo 2
A região é limitada por e o eixo , com indo de 0 até . Um elemento de volume será um disco, centrado em , como a questão pede. O raio desse disco será , onde é uma porção infinitesimal no eixo . Se , o raio do disco é 1, o que condiz com a fato dele estar centrado em . Show? =]
Passo 3
Pelo teorema 6.1.2 temos
(essa função é o raio, a área é )
No nosso caso,
(Usando a identidade: )
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral:
O livro pega o arco (não sabemos o porquê), onde o seno tem concavidade voltada pra cima, aí o volume fica:
Prontinho, esse é o volume