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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 25

25. Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 23 girar em torno da reta y = 1 .

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por y = s e n x e o eixo x , com x indo de 0 até π . Um elemento de volume será um disco, centrado em y = 1 , como a questão pede. O raio desse disco será 1 - s e n   w i , onde w i é uma porção infinitesimal no eixo x . Se w i = 0 , o raio do disco é 1, o que condiz com a fato dele estar centrado em y = 1 . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i x = π ∫ a b ( f x ) 2 d x

(essa função f é o raio, a área é π ( f x ) 2 )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( 1 - s e n   w i ) 2 ∆ i x = π ∫ 0 π ( 1 - s e n   x ) 2 d x

(Usando a identidade: s e n 2 x = 1 2 ( 1 - c o s 2 x ) )

V = π ∫ 0 π [ 1 - 2 s e n   x + 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) ] d x

V = π ∫ 0 π [ 3 2 - 2 s e n   x - 1 2 cos ⁡ 2 x ] d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ 0 π 3 2 - 2 s e n   x - 1 2 cos ⁡ 2 x d x = π 3 2 x + 2 c o s   x - 1 4 sen ⁡ 2 x 0 π

= π 3 2 π - 2 - 2 = 3 2 π 2 - 4 π

O livro pega o arco [ π , 2 π ] (não sabemos o porquê), onde o seno tem concavidade voltada pra cima, aí o volume fica:

V = 4 π - 1 2 π 2

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 4 π - 1 2 π 2   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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