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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 22

Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa sem tampa com um volume de 288   c m ³ , onde a base é um retângulo com um comprimento três vezes maior que a largura. Ache as dimensões da caixa fabricada com o mínimo de material.

Passo 1

A caixa pode ser vista na ilustração abaixo. Na base temos o comprimento sendo três vezes a largura. Vamos escrever o volume da caixa e da área superficial.

V = 3 x * x * y V = 3 x 2 y = 288 y = 2 88 3 x 2 = 96 x 2 A c a i x a = 3 x 2 + 2 * 3 x y + 2 x y A c a i x a = 3 x 2 + 8 x y

Passo 2

Queremos as dimensões da caixa. Para isso, vamos derivar a expressão da área dada acima em relação a x e igualar a zero.

A = 3 x 2 + 8 x y A = 3 x 2 + 8 x * 96 x 2 A = 3 x 2 + 768 x d A d x = 0 = 6 x - 768 x 2 768 x 2 = 6 x x 3 = 768 6 x 3 = 128 x = 4 2 3   c m

Passo 3

Agora que encontramos o valor de y vamos substituir lá naquela expressão oriunda do volume, que encontramos no passo 1.

y = 96 4 2 3 2 y = 6 4 3 * 4 2 3 4 2 3 y = 12 2 3 4 y = 3 2 3   c m

Resposta

Portanto, as dimensões da caixa são:

l a r g u r a = 4 2 3   c m   ;   c o m p r i m e n t o = 12 2 3   c m   ; a l t u r a = 3 2 3   c m

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