Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 25
25. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.
Passo 1
Opa, bora vencer mais um problema?
Aqui temos que encontrar a solução correta, com casas decimais, e como o próprio enunciado já diz, vamos desenhar os gráficos, e depois aplicar o método de Newton, preparados?
O Método de Newton é como um jogo de adivinhação inteligente para encontrar o ponto onde uma curva cruza o eixo x, ou outra curva.
Etapas:
Escolha Inicial: Vamos começar com um palpite inicial para o encontro das duas equações.
Iteração: Em cada passo, a gente usa a fórmula para obter uma nova aproximação , onde é a função e é sua derivada.
Convergência: O processo é repetido até que a diferença entre as aproximações sucessivas seja menor que um valor de tolerância pré definido (o critério de parada).
Critérios de Parada: para esse problema, temos a precisão de oito casas decimais!
É como tentar acertar o alvo no escuro, mas a cada tentativa você acende uma luzinha que te deixa mais perto de acertar em cheio!
Também podemos usar o método para encontrar quando duas funções se cruzam, para isso igualamos as duas, e passamos tudo para um único lado igualando a zero, assim podemos aplicar o método e encontrar o valor de nos pontos que há esse cruzamento..
Este método é eficaz quando a função é bem comportada e o palpite inicial está relativamente próximo da raiz verdadeira.
Agora é com esse passo-a-passo que faremos para resolver a nossa equação:
E é nela que vamos aplicar o método, preparados?
Vamos lá!
Passo 2
Antes de começar vamos esboçar um gráfico.
Você não precisa esboçar um gráfico perfeito da função, se conseguir esboçar só para ter uma ideia já vai te ajudar. Lembre-se que o gráfico de é como uma parábola no eixo , mas não tem parte negativa. E a outra função é como se você estivesse dividindo um número pelo quadrado dele.
Agora para poder aplicar o método, vamos passar toda e equação para o mesmo lado, e partir de agora ela será nossa
Passo 3
Temos que derivar nossa para poder aplicar o método:
Para derivar essa função aplicamos a regra da derivada da divisão, e a regra da cadeia:
Regra da divisão:
Regra da cadeia é a derivada do de fora vezes a derivada do de dentro:
Juntando tudo:
Agora é só usar aquela fórmula da teoria:
Arrumando as coisas, temos:
Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar o ponto (por isso que é importante saber esboçar um gráfico):
Passo 4
Para o ponto :
Fazendo as contas:
Agora jogamos esse valor novamente na fórmula, e repetir o processo até encontrarmos números que se repetem com a quantidade de casas decimais que o exercício pediu, no nosso caso, são 8 casas decimais.
Para achar os próximos o processo é análogo. Logo,
Para :
Para :
Para :
Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de oito casas decimais será
Entendeu certinho? Responde Aí!
Resposta
A raiz com aproximação de oito casas decimais é